Question

已知曲线f（x）=ln（2-x）+ax在点（0，f（0））处的切线斜率为．
（1）求f（x）的极值；
（2）设g（x）=f（x）+kx，若g（x）在（-∞，1）上是增函数，求实数k的取值范围；
（3）若数列{a_n}满足a₁∈（0，1），a_n+1=f（a_n），求证：对一切n∈N^*，0＜a_n＜1．

Answer

（1）根据负数没有对数得到f（x）的定义域，求出f（x）的导函数，把x等于0代入导函数求出的函数值为曲线在已知点处的切线方程的斜率，让其等于已知的斜率表示出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入到导函数中，令导函数等于0求出x的值，然后利用x的值在f（x）的定义域上讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的极值；（2）求出g（x）的导函数，因为g（x）在（-∞，1）上是增函数，所以导函数在（-∞，1）上恒大于等于0，列出关于k的不等式，解出k恒大于等于一个关于x的关系式，利用定义域求出关系式的范围得到关系式的最大值，让k大于等于这个最大值即可得到k的范围；（3）利用数学归纳法证明，方法是：当n=1时，显然成立；假设当n=k时成立，证明n=k+1也成立，即可得证．
【解析】
（1）f（x）的定义域是（-∞，2），，
由题知∴
令f'（x）=0，得x=1，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：

所以f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；
（2），
由题知g'（x）≥0在（-∞，1）上恒成立，即在（-∞，1）上恒成立，
∴x＜1，∴2-x＞1，∴，
∴，∴k≥0，
即实数k的取值范围是[0，+∞）；
（3）an+1=f（an）=ln（2-an）+an
（i）当n=1时，由题意知0＜a1＜1；
（ii）假设n=k时，有0＜ak＜1，
则n=k+1时，∵ak+1=f（ak），f（x）在（0，1）上是增函数，
∴f（0）＜f（ak）＜f（1）
即f（0）＜ak+1＜f（1），即ln2＜ak+1＜1，
又ln2＞0
∴0＜ak+1＜1，即n=k+1时，求证的结论也成立
由（i）（ii）可知对一切n∈N*，0＜an＜1．