Question

数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），S_n=（m+1）-ma_n对任意的n∈N^*都成立，其中m为常数，且m＜-1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）记数列{a_n}的公比为q，设q=f（m）．若数列{b_n}满足；b₁=a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*）．求证：数列是等差数列；
（3）在（2）的条件下，设c_n=b_n•b_n+1，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＜1．

Answer

（1）首先求出a1=1，根据Sn=（m+1）-man对任意的n∈N*都成立求出Sn=（m+1）-man，Sn-1=（m+1）-man-1（n≥2），两式相减即可得an=man-1-man，整理可证得，于是可证得数列an是首项为1，公比为的等比数列，
（2）根据bn=f（bn-1）得到，整理得，据此可证得数列是等差数列，
（3）求出数列{bn}的通项公式，然后求出数列{cn}的表达式，最后利用裂项相消法进行求和最后可得Tn=1-，于是可以证明Tn＜1．
【解析】
（1）当n=1时，a1=S1=1，∵Sn=（m+1）-man，①
∴Sn-1=（m+1）-man-1（n≥2），②
①-②得：an=man-1-man（n≥2），
∴（m+1）an=man-1．∵a1≠0，m＜-1，
∴an-1≠0，m+1≠0，∴．
∴数列an是首项为1，公比为的等比数列．
（2），
∴，∴，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．
（3）由（2）得，则．，
==．