Question

设f（x）=a•（log₂x）²+b•log₂x+1（a，b＞为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．
（1） 若f（）=0，且f（x）的最小值为0，则F（x）的解析式为    ；
（2） 在（1）的条件下，若g（x）=在[2，4]上是单调函数，则实数k的取值范围是    ．

Answer

（1）利用二次函数的最小值公式求出最小值令其为0，列出方程组求出a，b的值；利用奇函数的定义求出x＜0的解析式；求出F（0），得到F（x）的解析式．
（2）令log2x=t，将g（x）转化为不含对数的函数的单调性问题，求出导函数，令导函数大于等于0或小于等于0恒成立，分离出k转化为函数的最值，求出k的范围
【解析】
∵
∴
解得
设x＜0则-x＞0
∴F（-x）=f（-x）=[log2（-x）]2+2log2（-x）+1
∵F（x）为R上的奇函数
∴F（x）=-F（x）=-[log2（-x）]2-2log2（-x）-1
∵F（x）为奇函数
∴F（0）=0
∴
（2）∴
令log2x=t，t∈[1，2]则，t∈[1，2]是单调函数
∴（ t∈[1，2]）恒成立
∴k≤t2或k≥t2，t∈[1，2]恒成立
∴k≤1或k≥4
故答案为；k≤1或k≥4