Question

已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，
F₁、F₂为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F₁作∠F₁PF₂的外角
平分线的垂线F₁M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．
（1）求M点的轨迹T的方程；
（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S_△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（1）延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF1的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；
（2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（-4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．
【解析】
（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，
∵∠NPM=∠MPF1，∠NMP=∠PMF1
∴△PNM≌△PF1M
∴M是线段NF1的中点，|PN|=|PF1||（2分）
∴|OM|=|F2N|=（|F2P|+|PN|）=（|F2P|+|PF1|）
∵点P在椭圆上
∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4，（4分）
当点P在x轴上时，M与P重合
∴M点的轨迹T的方程为：x2+y2=42．（6分）

（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点
A（-4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，
分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2．
∵同底等高的两个三角形的面积相等
∴符合条件的点均在直线l1、l2上．（7分）
∵
∴直线l1、l2的方程分别为：、（8分）
设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，
∴x2+y2＜16（9分）
分别解与
得与（11分）
∵x，y∈Z
∴x为偶数，在上x=-2，，0，2对应的y=1，2，3
在上x=-2，0，2，对应的y=-3，-2，-1（13分）
∴满足条件的点Q存在，共有6个，
它们的坐标分别为：（-2，1），（0，2），（2，3），（-2，-3），（0，-2），（2，-1）．（14分）