Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是四棱柱，底面ABCD是菱形，AA₁⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=60°，E是AA₁的中点．
（1）求证：平面BD₁E⊥平面BB₁D₁D；
（2）若四面体D₁-ABE的体积V=1，求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

Answer

（1）设平面BD1E∩CC1=F，连接BF，由已知中ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是菱形，AA1⊥底面ABCD，我们结合直四棱柱的几何特征得到△D1A1E≌△BCF，连接A1C1、B1D1，可以得到AA1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，进而由线面垂直的判定定理得到EF⊥平面BB1D1D，再由线面垂直的性质，可得平面BD1E⊥平面BB1D1D；
（2）因为AA1⊥底面ABCD，所以AA1是棱柱ABCD-A1B1C1D1的高，我们求出三角形ABE的面积，结合四面体D1-ABE的体积V=1，我们易求出AA1的值，即棱柱ABCD-A1B1C1D1的高．
【解析】
（1）设平面BD1E∩CC1=F，连接BF，则△D1A1E与△BCF的对应边互相平行（1分），
且A1D1=BC，所以△D1A1E≌△BCF（2分），
F是CC1的中点（3分），
连接A1C1、B1D1，因为AA1⊥底面ABCD，所以AA1⊥A1C1，A1C1⊥BB1（4分），
ABCD是菱形，A1C1⊥B1D1，且BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥面BB1D1D（5分），
因为E、F分别是AA1、CC1的中点，所以A1EFC1是矩形，EF∥A1C1，所以EF⊥平面BB1D1D（6分），
EF⊂平面BD1E（即平面BFD1E），所以，面BD1E⊥面BB1D1D（7分）．
（2）因为AA1⊥底面ABCD，所以AA1是棱柱ABCD-A1B1C1D1的高（8分），
AA1⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1⊥底面ABCD（9分），
在底面A1B1C1D1上作D1F⊥A1B1，垂足为F，面ABB1A1∩面A1B1C1D1=A1B1，所以D1F⊥面ABB1A1（10分），
所以（11分），
其中，（12分），
所以（13分），
解得，即棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为（14分）．