Question

设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x∈D，使f（x）=x，则称x是f（x）的一个不动点，也称f（x）在区间D上有不动点．
（1）证明f（x）=2^x-2x-3在区间（1，4）上有不动点；
（2）若函数在区间[1，4]上有不动点，求常数a的取值范围．

Answer

（1）根据“f（x）在区间D上有不动点”当且仅当“F（x）=f（x）-x在区间D上有零点”，令F（x）=f（x）-x=2x-3x-3在区间[1，4]上是一条连续不断的曲线，利用F（1）•F（4）＜0可确定函数F（x）=f（x）-x在区间（1，4）内有零点，从而得到结论；
（2）依题意，存在x∈[1，4]，使，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．
【解析】
（1）依题意，“f（x）在区间D上有不动点”当且仅当“F（x）=f（x）-x在区间D上有零点”（2分），
F（x）=f（x）-x=2x-3x-3在区间[1，4]上是一条连续不断的曲线（3分），
F（1）•F（4）=-4×1＜0（4分），
所以函数F（x）=f（x）-x在区间（1，4）内有零点，f（x）=2x-2x-3在区间（1，4）上有不动点（5分）．
（2）依题意，存在x∈[1，4]，使
当x=1时，使（6分）；
当x≠1时，解得（8分），
由（9分），
得x=2或（，舍去）（10分），

x （1，2） 2 （2，4）
a′ + -
a ↗ 最大值 ↘

（12分），当x=2时，（13分），
所以常数a的取值范围是（14分）．