Question

已知函数f（x）=x²-alnx在（1，2）上是递增函数，g（x）=x-在（0，1）上为减函数．
（1）求f（x），g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）当b＞-1时，若f（x）在x∈（0，1）内恒成立，求b的取值范围．

Answer

（1）在（1，2]上恒成立⇒a≤（2x2）min=2，在（1，2]上恒成立，由此知f（x）=x2-2lnx，g（x）=x-．
（2）f（x）=g（x）+2，由函数的单调性能导出方程f（x）=g（x）+2在x＞0时只有唯一解．
（3）f（x）在（0，1]上恒成立在（0，1]上恒成立．由此能导出b的取值范围．
【解析】
（1）由题意知：在（1，2]上恒成立⇒a≤（2x2）min=2，
又在（0，1]上恒成立，
∴a=2，f（x）=x2-2lnx，g（x）=x-2．
（2）．f（x）=g（x）+2，
则，
解得h（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增⇒h（x）min=h（1）=0，
即方程f（x）=g（x）+2在x＞0时只有唯一解．
（3）f（x）在（0，1]上恒成立，在（0，1]上恒成立．
设，则，
∵0＜x≤1⇒x2-2＜0，2lnx＜0，
∴H′（x）＜0，H（x）d （0，1]单调递减，
∴-1＜b≤1，又∵b＞-1，∴．