Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是
CC₁、BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足=λ（λ∈R）．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；
（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

Answer

（1）以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断=0，即PN⊥AM；
（2）设出平面ABC的一个法向量，我们易表达出sinθ，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的λ值，进而求出此时θ的正线值；
（3）平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为45°，代入向量夹角公式，可以构造一个关于λ的方程，解方程即可求出对应λ值，进而确定出满足条件的点P的位置．
【解析】
（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．
则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），（2分）
从而=（-λ，，-1），=（0，1，），
=（-λ）×0+×1-1×=0，
所以PN⊥AM．（3分）
（2）平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），
则sinθ=|sin（-＜，＞）|=|cos＜，＞|
=||=（※）．（5分）
而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ=除外，
由（※）式，当λ=时，（sinθ）max=，（tanθ）max=2．（6分）
（3）平面ABC的一个法向量为==（0，0，1）．
设平面PMN的一个法向量为=（x，y，z），
由（1）得=（λ，-1，）．
由
解得
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
∴|cos＜，＞|=||==，
解得λ=-．（11分）
故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|=．（12分）