Question

随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注．已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量T_n大致满足关系式：T_n=228a（1.01²ⁿ-1）（n≤24，n∈N^*）．
（1）求Q型车前n个月的销售总量S_n的表达式；
（2）比较两款车前n个月的销售总量S_n与T_n的大小关系；
（3）试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由．
（参考数据：≈1.09，≈8.66）

Answer

（1）Q型车每月的销售量{an}是等比数列，且a1=a，q=1+1%；其前n项和Sn可求；
（2）作差比较，即Sn-Tn易得Sn＜Tn；
（3）若记Q、R两款车第n个月的销量分别为an和bn，则an=a×1.01n-1．
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1可得出，验证b1满足条件，且20%×b1＜a1；若an＜20%×bn成立，则结合题目中的所给数据，可得从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%．
【解析】
（1）Q型车每月的销售量{an}是以首项a1=a，公比q=1+1%=1.01的等比数列；
前n个月的销售总量Sn==100a（1.01n-1）（n∈N*，且n≤24）．
（2）∵Sn-Tn=100a（1.01n-1）-228a（1.012n-1）=100a（1.01n-1）-228a（1.01n-1）（1.01n+1）=-228a（1.01n-1）•（1.01n+）．
又1.01n-1＞0，1.01n+＞0，∴Sn＜Tn．
（3）记Q、R两款车第n个月的销量分别为an和bn，
则an=a×1.01n-1．
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=228a（1.012n-1）-228a（1.012n-2-1）=228a×（1.012-1）×1.012n-2=4.5828a1.012n-2．
b1=4.5828a（或228×0.0201a），显然20%×b1＜a1．
当n≥2时，若an＜20%×bn，
即a×1.01n-1＜×4.5828a×1.012n-2，
1.012（n-1）＞×1.01n-1，1.01n-1＞≈1.09，n-1＞≈8.66．
∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%．