Question

已知常数a为正实数，曲线C_n：y=在其上一点P_n（x_n，y_n）的切线l_n总经过定点（-a，0）（n∈N^*）．
（1）求证：点列：P₁，P₂，…，P_n在同一直线上；
（2）求证：（n∈N^*）．

Answer

（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=xn处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．Pn（a，）总在直线x=a上，即P1，P2，，Pn在同一直线上，从而问题解决．
（2）由（1）可知yn=，从而f（i）===，对=进行放缩从而得出：=，最后设函数F（x）=-ln（x+1），x∈[0，1]，利用导数研究其单调性即可证得结论．
证：（1）∵f（x）=，
∴f′（x）=•（nx）′=•．（1分）
Cn：y=在点Pn（xn，yn）处的切线ln的斜率kn=f′（xn）=•，
∴ln的方程为y-yn=•（x-xn）．（2分）
∵ln经过点（-a，0），
∴yn=-•（-a-xn）=•（a+xn）．
又∵Pn在曲线Cn上，∴yn==•（a+xn），
∴xn=a，∴yn=，∴Pn（a，）总在直线x=a上，
即P1，P2，，Pn在同一直线x=a上．（4分）
（2）由（1）可知yn=，∴f（i）===．（5分）
=＜=2（-）（i=1，2，，n），

=．（9分）
设函数F（x）=-ln（x+1），x∈[0，1]，有F（0）=0，
∴F′（x）=-==＞0（x∈（0，1）），
∴F（x）在[0，1]上为增函数，
即当0＜x＜1时F（x）＞F（0）=0，故当0＜x＜1时＞ln（x+1）恒成立．（11分）
取x=（i=1，2，3，，n），f（i）=＞ln（1+）=ln（i+1）-lni，
即f（1）=＞ln2，f（2）=＞ln（1+）=ln3-ln2，，f（n）=＞ln（n+1）-lnn，∴＞ln2+（ln3-ln2）++[ln（n+1）-lnn]=ln（n+1）
综上所述有ln（n+1）＜（n∈N*）．（13分）