Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，P在平面ABCD上的射影为G，且G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P-BCG的体积为．
（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角余弦值；
（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；
（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．

Answer

（1）先利用等体积法求出PG的长，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连接PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角，在△PCH中利用余弦定理求出此角即可；
（2）在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG，DK的长就是点D到平面PBG的距离，在△DKG利用边角关系求出DK长；
（3）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连接MF，先证明FM∥PG，然后利用三角形相似对应边成比例建立等量关系即可．
【解析】
（I）由已知，
∴PG=4．
在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连接PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．
在△PCH中，，
由余弦定理得，cos∠PCH=，
∴异面直线GE与PC所成的角的余弦值为．

（II）∵PG⊥平面ABCD，PG⊂平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD，
在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG∴DK的长就是点D到平面PBG的距离．
∵．
在△DKG，DK=DGsin45°=，∴点D到平面PBG的距离为．

（III）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连接MF，
又因为DF⊥GC，
∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM．
由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD∴FM∥PG；
由GM⊥MD得：GM=GD•cos45°=．
∵，∴由DF⊥GC可得，
∴x=，解得d=∈（0，）．