Question

已知二项式展开式中不含x的项为-160；设，定义，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若，其中n∈N^*，试比较9T_2n与Q_n的大小，并说明理由．

Answer

（1）二项式展开式中不含x的项为-160，写出通项公式，令x的系数为0，求出m．
（2）fn+1（x）=f1[fn（x）]是一种递推关系，故求数列{an}的通项公式可通过探求an+1和an之间的关系求解．
（3）由（2）可知数列{an}是等比数列，故求T2n要采用错位相减法，求出后，
要与Qn比较大小，可先取n=1，2，3时观察结果，猜测结论，再用数学归纳法证明．
【解析】
（Ⅰ），因6-2r=0，得r=3；C63（-m）3=-160得m=2．
（Ⅱ），∵
∵，，∴，
则数列{an}是以为首项，-为公比的等比数列．∴，
（Ⅲ）

两式相减得：，
又∵，
比较9T2n与Qn的大小，就是比较4n与（2n+1）2的大小：
当n=1时，41=4，（2×1+1）2=9，即4n＜（2n+1）2
当n=2时，42=16，（2×2+1）2=25，即4n＜（2n+1）2
当n=3时，43=64，（2×3+1）2=49，即4n＞（2n+1）2
猜测当n≥3时，有4n＞（2n+1）2
下面用数学归纳法证明：（1）当n=3时显然成立；
（2）设当n=k时猜想成立，即4k＞（2k+1）2，
那么当n=k+1时，4k+1=4k•4＞4•（2k+1）2，
又∵4•（2k+1）2-[2（k+1）+1]2=（6k+5）（2k-1）＞0（k≥3），∴4k+1＞[2（k+1）+1]2，
所以当n=k+1时猜想也成立．
综上所述：对于一切大于3的正整数都有4n＜（2n+1）2．
所以，当n=1、2时9S2n＜Qn，当n≥3时，9S2n＞Qn．