Question

已知椭圆的离心率．直线x=t（t＞0）与曲线E交于
不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．

Answer

（1）由椭圆的离心率，知．由此能求出椭圆E的方程．
（2）依题意，圆心为C（t，0），（0＜t＜2）．由得．所以圆C的半径为．由圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，知，所以弦长，由此能求出ABC的面积的最大值．
（1）【解析】
∵椭圆的离心率，
∴．（2分）
解得a=2．
∴椭圆E的方程为．（4分）
（2）【解析】
依题意，圆心为C（t，0），（0＜t＜2）．
由得．
∴圆C的半径为．（6分）
∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，
∴，即．
∴弦长．（8分）
∴△ABC的面积（9分）==．（12分）
当且仅当，即时，等号成立．
∴△ABC的面积的最大值为．（14分）