Question

已知函数R），g（x）=lnx．
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值．

Answer

（1）先求出求函数F（x）=f（x）+g（x）的导函数，分情况求出导数为0的根进而求出函数的单调区间（注意是在定义域内求单调区间）；
（2）先把问题转化为只有一个实数根；再利用导函数分别求出等号两端的极值，在下面画出草图，结合草图即可求出结论．
（1）【解析】
函数的定义域为（0，+∞）．
∴=．
①当△=1+4a≤0，即时，得x2+x-a≥0，则F′（x）≥0．
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（2分）
②当△=1+4a＞0，即时，令F′（x）=0，得x2+x-a=0，
解得．
（ⅰ）若，则．
∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，则时，F′（x）＜0；时，F′（x）＞0，
∴函数F（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数F（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数F（x）的单调递减区间为，
单调递增区间为．（8分）
（2）【解析】
由，得，化为．
令，则．
令h′（x）=0，得x=e．
当0＜x＜e时，h′（x）＞0；当x＞e时，h′（x）＜0．
∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减．
∴当x=e时，函数h（x）取得最大值，其值为．（10分）
而函数m（x）=x2-2ex+a=（x-e）2+a-e2，
当x=e时，函数m（x）取得最小值，其值为m（e）=a-e2．（12分）
∴当，即时，方程只有一个根．（14分）