Question

已知函数
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）利用1）的结论求解不等式2|lnx|≤•|x-1|．并利用不等式结论比较ln²（1+x）与的大小．
（3）若不等式对任意n∈N^*都成立，求a的最大值．

Answer

先求函数的定义域
（1）对函数求导，利用导数在区间（0，+∞）的符号判断函数的单调性．
（2）根据题目中式子的结构，结合（1）中单调性的结论可考虑讨论①x≥1，f（x）≤f（1）=0②0＜x＜1，f（x）＞f（1）=0两种情况对原不等式进行求解．
（3）若不等式对任意n∈N*都成立⇔a≤恒成立构造函数g（x）=，利用导数判断该函数的单调性，从而求解函数的最小值，即可求解a的值
【解析】
（1），定义域x|x＞0

∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）对
当x≥1时，原不等式变为
由（1）结论，x≥1时，f（x）≤f（1）=0，即成立
当0＜x≤1时，原不等式变为，即
由（1）结论0＜x≤1时，f（x）≥f（1）=0，
综上得，所求不等式的解集是{x|x＞0}
∵x＞0时，，即，
∴
用（其中x＞-1）代入上式中的x，可得
（3）结论：a的最大值为
∵n∈N*，∴∵，∴
取，则x∈（0，1]，∴
设，
∵g（x）递减，
∴x=1时
∴a的最大值为．