Question

无穷数列{a_n}的前n项和S_n=npa_n（n∈N^*），并且a₁≠a₂．
（1）求p的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）作函数f（x）=a₂x+a₃x²+…+a_n+1xⁿ，如果S₁₀=45，证明：．

Answer

（1）由题设知p=1，或a1=0．a1+a2=S2=2pa2．a1=a2，矛盾．故不可能是：a1≠0，且p=1．由a1=0，得a2≠0．再由a1+a2=S2=2pa2，能够得到．
（2），，．（n-1）an+1=nan．由此能够导出对一切n∈N*有：an=（n-1）a2．
（3）f（x）=x+2x2++nxn．．．再用错位相减法进行求解．
【解析】
（1）∵a1=S1=pa1∴a1≠0，且p=1，或a1=0．
若是a1≠0，且p=1，则由a1+a2=S2=2pa2．
∴a1=a2，矛盾．故不可能是：a1≠0，且p=1．由a1=0，得a2≠0．
又a1+a2=S2=2pa2，∴．

（2）∵，，
∴．（n-1）an+1=nan．
当k≥2时，．
∴n≥3时有=．
∴对一切n∈N*有：an=（n-1）a2．

（3）∵，
∴a2=1． an=n-1（n∈N*）．
故f（x）=x+2x2++nxn．
∴．
又+1．
∴2•=＜．
故．