Question

（甲）如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=，又AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求侧棱A₁A与底面ABC所成的角的大小；
（2）求侧面A₁B与底面所成二面角的大小；
（3）求点C到侧面A₁B的距离．
（乙）在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C'中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．
（1）求证：A'F⊥C'E；
（2）当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求二面角B'-EF-B的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer

甲（1）由题意画出图形由于侧面A1C⊥底面ABC，所以A1A与底面ABC所成的角为∠A1AC，解出即可；
（2）由题意及图形利用二面角平面角的概念即可求二面教的大小；
（3）由题意利用三棱锥的等体积进行轮换可得距离．
乙（1）由于几何体为长方体，利用条件建立空间直角坐标系，写出各个点的空间坐标利用向量的知识和等体积法求出距离；
（2）利用条件及所给图形利用二面角的平面角的定义，设出BF=x，BE=y，则x+y=a，利用均值不等式求出BE，BF的长度，再在三角线中进行求解出二面角的大小．
（甲）（1）∵侧面A1C⊥底面ABC，∴A1A在平面ABC上的射影是AC、A1A与底面ABC所成的角为∠A1AC．
∵A1A=A1C，A1A⊥A1C，∴∠A1AC=45°．

（2）作A1O⊥AC于O，则A1O⊥平面ABC，再作OE⊥AB于E，连接A1E，则A1E⊥AB，
所以∠A1EO就是侧面A1B与底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△A1EO中，，，
∴．∠A1EO=60°．

（3）设点C到侧面A1B的距离为x．
∵，
∴．（*）
∵，OE=1，∴．
又，∴．
又．∴由（*）式，得．∴x=1

（乙）（1）证明：如图，以O为原点建立空间直角坐标系．
设AE=BF=x，则A'（a，0，a），F（a-x，a，0），C'（0，a，a），E（a，x，0），
∴=（-x，a，-a），=（a，x-a，-a）．
∵，
∴A'F⊥C'E．

（2）【解析】
记BF=x，BE=y，则x+y=a，则三棱锥B'-BEF的体积为．
当且仅当时，等号成立，因此，三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，．
过B作BD⊥BF交EF于D，连接B'D，则B'D⊥EF．
∴∠B'DB是二面角B'-EF-B的平面角．在Rt△BEF中，直角边，BD是斜边上的高，∴
在Rt△B'DB中，tan∠．故二面角B'-EF-B的大小为．