Question

设函数是单调减函数，值域为[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：2＜m＜4＜n；
（3）若函数的最大值为A，求证：0＜A＜1．

Answer

（1）充分利用函数与方程的思想，利用函数的单调性和最值将问题转化为方程在某区间上有解，从而得到参数a的范围．
（2）利用二次函数根的分布规律获得参数m、n的分布情况，从而得到对应的不等关系．
（3）利用导数判断单调性的知识从函数单调性入手得到A的取值范围．
【解析】
（1）由题意，得

不相等的实根，
即m，n是关于x的方程ax2+（a-1）x+2（1-a）=0在区间（2，+∞）内的两个
不相等的实根，

，
且y＞0，结合函数y=logax在区间（0，+∞）内是单调减函数，
，
值域为[1+loga（n-1），1+loga（m-1）]．
故实数a的取值范围是区间（8分）
（2）令h（x）=ax2+（a-1）x+2（1-a）
．由于h（2）=4a+2（a-1）+2（1-a）=4a＞0，
h（4）=16a+4（a-1）+2（1-a）=18a-2＜0，
所以2＜m＜4＜n．（12分）
（3）因为函数，所以，当x＞2时，
，
因为lna＜0，所以当x∈[m，4）时，g'（x）＞0，即g（x）在区间[m，4]上是单调增函数；
当x∈（4，+∞）时，g'（x）＜0，即g（x）在区间[4，n]上是单调减函数；

，
所以0＜A＜1．（16分）