Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AB=2BC，
AC=AA₁=BC．
（1）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）若D是棱CC₁的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？
若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据三边满足勾股定理则△ABC为直角三角形，从而BC⊥AC，又AA1⊥平面ABC，则AA1⊥BC，BC⊥CC1，从而BC⊥面ACC1A1，则BC⊥A1C，则B1C1⊥A1C，因AC=AA1则侧面ACC1A1为正方形，从而AC1⊥A1C，又B1C1∩AC1=C1，根据线面垂直的判定定理可知面AB1C1；
（2）存在点E，且E为AB的中点，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1，因AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1．B1C1与AB1是相交直线，从而面DEF∥面AB1C1，而DE⊂面DEF，根据线面平行的判定定理可知DE∥面AB1C1．
证明：（1）∵AB=2BC，AC=BC，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=．
从而BC⊥AC．又AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥BC，∴BC⊥CC1（2分）
从而BC⊥面ACC1A1，∴BC⊥A1C，
则B1C1⊥A1C（4分）∵AC=AA1∴侧面ACC1A1为正方形，∴AC1⊥A1C．
又B1C1∩AC1=C1，∴C⊥面AB1C1（6分）

（2）存在点E，且E为AB的中点（（8分））
下面给出证明：
取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1．
∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1．B1C1与AB1是相交直线，∴面DEF∥面AB1C1．（10分）
而DE⊂面DEF，∴DE∥面AB1C1（12分）