Question

已知函数f（x）=x²+alnx（a为实数），函数y=g（x）是函数y=f（x）的导函数．
（1）求函数y=g（x）的单调区间；
（2）当函数y=g（x）最小值为4时，求函数y=f（x）解析式．

Answer

（1）先对函数y=g（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据g′（x）＞0求得的区间是单调增区间，g′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）由（1）知可得g（x）的最小值，从而列出方程即得：∴a=2，故f（x）=x2+2lnx．
【解析】
∵，∴
（1）∵
①当a＜0时，g'（x）＞0恒成立，∴函数g（x）的单调递增区间为（0，∞）
②当a＞0时，有下表
∴函数g（x）的单调递增区间为；
函数g（x）的单调递减区间为（0，）
（2）由（1）知g
∴a=2，故f（x）=x2+2lnx