Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，，，BC=1．将ABCD（及其内部）绕AB所在的直线旋转一周，形成一个几何体．
（1）求该几何体的体积V；
（2）设直角梯形ABCD绕底边AB所在的直线旋转角θ（∠CBC′=θ∈（0，π））至ABC′D′，问：是否存在θ，使得AD′⊥DC′．若存在，求角θ的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）在直角梯形ABCD作DE⊥AB，则作DE是圆锥的底面半径，AE是它的高，而BC和CD是圆柱的半径和母线，根据题意分别求出并代入椎体和柱体的体积公式，进行求和求出旋转体得体积；
（2）先假设存在θ满足题意，再根据AD′⊥DC′和余弦定理进行求解，求出对应一个角的余弦值大于0，与线线垂直矛盾，故证出假设不成立即不存在．
【解析】
（1）如图，
作DE⊥AB，则由已知，得，
∴．
（2）取BA的中点E，连DE，C′E，则∠DC′E（或其补角）就是异面直线AD′与DC′所成的角．
在△DC′E中，，DE=CB=1，CC'2=1+1-2cosθ=2-2cosθ，
∴，
故不存在θ，使得AD′⊥DC′．