Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：对于任何n∈N^*，有a_n=b_n+1-b_n，b_n+2=（1+λ）b_n+1-λb_n（λ为非零常数），且b₁=1，b₂=2．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若b₃是b₆与b₉的等差中项，试求λ的值，并研究：对任意的n∈N^*，b_n是否一定能是数列{b_n}中某两项（不同于b_n）的等差中项，并证明你的结论．

Answer

（1）由bn+1=（1+λ）bn-λbn-1（n≥2，λ≠0）得，bn+1-bn=λ（bn-bn-1）．所以an=λn-1．由bn-b1=（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1），得bn-b1=1+λ+…+λn-2（n≥2），从而得到数列{an}和{bn}的通项公式．
（2）当λ=1时，b3不是b6与b9的等差中项，不合题意；当λ≠1时，由2b3=b6+b9得λ8+λ5-2λ2=0，对任意的n∈N*，bn是bn+3与bn+6的等差中项．由，知，故对任意的n∈N*，bn是bn+3与bn+6的等差中项．
【解析】
（1）由bn+1=（1+λ）bn-λbn-1（n≥2，λ≠0）得，bn+1-bn=λ（bn-bn-1）．
又a1=b2-b1=1，λ≠0，an≠0．
所以，{an}是首项为1，公比为λ的等比数列，an=λn-1．（5分）
由bn-b1=（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1），得bn-b1=1+λ+…+λn-2（n≥2）
所以，当n≥2时，．（6分）
上式对n=1显然成立（1分）
（2）当λ=1时，b3不是b6与b9的等差中项，不合题意；．（1分）
当λ≠1时，由2b3=b6+b9得λ8+λ5-2λ2=0，
由λ≠0得λ6+λ3-2=0（可解得）..（2分）
对任意的n∈N*，bn是bn+3与bn+6的等差中项（2分）
证明：∵，∴，..（3分）
即，对任意的n∈N*，bn是bn+3与bn+6的等差中项．