Question

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且．
（1）证明：sin2A=sin2B；
（2）若a=3，b=4，求的值；
（3）若C=60°，△ABC的面积为，求•+•+•的值．

Answer

（1）利用正弦定理把题设中的等式的边转化成角的正弦，化简整理，利用二倍角公式求得sin2A=sin2B，原式得证．
（2）由（1）中的结论可推断出A+B=，进而利用勾股定理求得c，进而利用向量的运算法则求得的值．
（3）由（1）中的结论可推断出A=B或A+B=，进而根据C=推断出△ABC为等边三角形，进而利用三角形面积公式求得a的值，进而根据平面向量数量积的运算求得答案．
【解析】
（1）证明：由=tanAcotB
得sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
（2）【解析】
由上题知sin2A=sin2B及a≠b
得2A+2B=π
∴A+B=，c=
∴=9+16
∴
（3）由（1）知A=B或A+B=又∵C=
∴A=B=C=即△ABC为等边三角形
又∴a2=4，a=2
∴•+•+•=3×2×2cos=-6