Question

已知f（x）=x³+bx²+cx+2．
（I）若f（x）在x=1时，有极值-1，求b、c的值；
（II）当b为非零实数时，证明：f（x）的图象不存在与直线（b²-c）x+y+1=0平行的切线；
（III）记函数|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，求证：M≥．

Answer

（1）由f（x）在x=1时，有极值-1，可得解得，要注意验证．
（Ⅱ）先假设存在，则该直线的斜率等于该点处的导数建立方程3t2+2bt+c=c-b2，即3t2+2bt+b2=0有无根．
（Ⅲ）|f′（x）|=|3（x+）2+c|，由二次函数最值求法去讨论求解．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2bx+c，
由f（x）在x=1时，有极值-1得
即解得（3分）
当b=1，c=-5时，
f′（x）=3x2+2x-5=（3x+5）（x-1），
当x＞1时，f′（x）＞0，
当-＜x＜1时，f′（x）＜0．
从而符合在x=1时，f（x）有极值，（4分）
（Ⅱ）假设f（x）图象在x=t处的切线与直线（b2-c）x+y+1=0平行，
∵f′（t）=3t2+2bt+c，
直线（b2-c）x+y+1=0的斜率为c-b2，
∴3t2+2bt+c=c-b2，（7分）
即3t2+2bt+b2=0．
∵△=4（b2-3b2）=-8b2，
又∵b≠0，∴△＜0．
从而方程3t2+2bt+b2=0无解，
因此不存在t，使f′（t）=c-b2，
却f（x）的图象不存在与直线（b2-c）x+y+1=0平行的切线．（8分）
（Ⅲ）∵|f′（x）|=|3（x+）2+c|，
①若|-|＞1，则M应是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一个，
∴2M≥|f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|＞12，
∴M＞6，从而M≥．（10分）
②当-3≤b≤0时，2M≥|f′（-1）|+|f′（，）|
=|3-2b+c|+|c-|≥|-2b+3|=|（b-3）2|≥3，所以M≥．（12分）
③当0＜b≤3时，2M≥|f′（1）|+|f′（-）|=|3+2b+c|+|c-|≥|+2b+3|
=|（b+3）2|＞3，∴M≥．
综上所述，M≥．（14分）