Question

如图，在棱长均为4的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、D₁分别是BC和B₁C₁的中点．
（1）求证：A₁D₁∥平面AB₁D；
（2）若平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∠B₁BC=60°，求三棱锥B₁-ABC的体积．

Answer

（1）欲证A1D1∥平面AB1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D为平行四边形，则A1D1∥AD
又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，满足定理所需条件；
（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A-B1BC的高，求出三棱锥A-B1BC的体积，从而求出三棱锥B1-ABC的体积．
【解析】
（1）证明：连接DD1，在三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵D、D1分别是BC和B1C1的中点．
∴B1D1∥BD，且B1D1=BD
∴四边形B1BDD1为平行四边形
∴BB1∥DD1，且BB1=DD1
又因AA1∥BB1，AA1=BB1
所以AA1∥DD1，AA1=DD1
所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1∥AD
又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D
故A1D1∥平面AB1D；
（2）在△ABC中，棱长均为4，则AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC
因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC
所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A-B1BC的高
在△ABC中，AB=AC=BC=4得AD=2
在△B1BC中，B1B=BC=4，∠B1BC=60°
所以△B1BC的面积为4
∴三棱锥B1-ABC的体积即为三棱锥A-B1BC的体积V=××=8