Question

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
a₁
a₂a₃a₄
a₅a₆a₇a₈a₉
…
已知表中的第一列数a₁，a₂，a₅，…构成一个等差数列，记为{b_n}，且b₂=4，b₅=10．表中每一行正中间一个数a₁，a₃，a₇，…构成数列{c_n}，其前n项和为S_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a₁₃=1．①求S_n；②记M={n|（n+1）c_n≥λ，n∈N^*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）设{bn}的公差为d，则，由此能求出数列{bn}的通项公式．
（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个数，且32＜13＜42，解得，，所以，由错位相减法能够求得．
②由，知不等式（n+1）cn≥λ，可化为，设，解得，由此能够推导出λ的取值范围．
【解析】
（1）设{bn}的公差为d，
则，解得，∴bn=2n．
（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，
由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个数，且32＜13＜42，
∴a10=b4=8，
∴a13=a10q3=8q2，
又a13=1，解得，
∴，
∴，
，
∴
=4-
解得．
②由①知，，不等式（n+1）cn≥λ，可化为，
设，解得，
∴n≥3时，f（n+1）＜f（n）．
∵集合M的元素个数是3，
∴λ的取值范围是（4，5]．