Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n项和．求证：≤．

Answer

利用等比数列的求和公式可得，Sn=3n-1，要证明，等价于即证3n≥2n+1（*）成立
（法一）用数学归纳法证明
先验证①当n=1时，（*）式成立，②再假设当n=k时（*）成立，证明当n=k+1时，命题也成立．
（法二）利用二项式定理，检验当n=1时（*）成立
当n≥2时，3n=（1+2）n=Cn+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn=1+2n+…＞1+2n
从而可得
证明：由已知，得Sn=3n-1
要证明等价于即3n≥2n+1（*）
（方法一）用数学归纳法证明
①当n=1时，左边=3，右边=3，所以（*）式成立
②假设当n=k时（*）成立，即3k≥2k+1
那么当n=k+1时，3k+1=3×3k≥3（2k+1）=6k+3≥2k+3=2（k+1）+1
所以当n=k+1时（*）也成立
综合①②可得，3n≥2n+1

（法二）当n=1时，左边=，右边=4，所以（*）成立
当n≥2时，3n=（1+2）n=Cn+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn=1+2n+…＞1+2n

所以