Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面A₁ADD₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：A₁O∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求锐二面角A-C₁D₁-C的余弦值．

Answer

（Ⅰ）欲证A1O∥平面AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面AB1C内一直线平行，连接CO、A1O、AC、AB1，利用平行四边形可证A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C，满足定理所需条件；
（Ⅱ）根据面面垂直的性质可知D1O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面C1CDD1的一个法向量，以及平面AC1D1的一个法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值即可求出锐二面角A-C1D1-C的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）证明：如图（1），
连接CO、A1O、AC、AB1，（1分）
则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，
所以，四边形A1B1CO为平行四边形，（3分）
所以A1O∥B1C，
又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C
所以A1O∥平面AB1C（6分）
（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD
又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，
所以D1O⊥底面ABCD，（7分）
以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，-1，0）．（8分）所以，（9分）
设为平面C1CDD1的一个法向量，
由，得，
令z=1，则y=1，x=1，∴．（10分）
又设为平面AC1D1的一个法向量，
由，得，
令z1=1，则y1=-1，x1=-1，∴，（11分）
则，
故所求锐二面角A-C1D1-C的余弦值为（12分）