Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：AB⊥AC₁；
（Ⅱ）判断直线MN和平面ACC₁A₁的位置关系，并加以证明．

Answer

（Ⅰ）由题意及线面垂直的定理和定义先证AB⊥平面ACC1A1，再证出AB⊥AC1．
（Ⅱ）先判断平行再证明，由题意再取其它边得中点作辅助线，证明线线平行，再证MN∥平面ACC1A1．
证明：（Ⅰ）由题意知，CC1⊥平面ABC，
∵AB⊂平面ABC，∴CC1⊥AB．
∵∠BAC=90°，即AC⊥AB，且AC∩CC1=C，
∴AB⊥平面ACC1A1．
又∵AC1⊂平面ACC1A1，∴AB⊥AC1．

（Ⅱ）MN∥平面ACC1A1．
证明如下：设AC的中点为D，连接DN，A1D．
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN∥AB，DN=AB．
又∵A1M=A1B1，且AB∥A1B1，AB=A1B1
∴A1M=∥DN．
∴四边形A1DNM是平行四边形．
∴A1D∥MN．
∵A1D⊂平面ACC1A1，MN∉平面ACC1A1，
∴MN∥平面ACC1A1．