Question

函数f（x）=-x²+4x-1在[t，t+1]上的最大值为g（t），则g（t）的最大值为     ．

Answer

因为对称轴固定，区间不固定，须分轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间三种情况讨论，找出g（t）的表达式，再求其最大值．
【解析】
因为f（x）=-x2+4x-1开口向下，对称轴为x=2，所以须分以下三种情况讨论
①轴在区间右边，t+1≤2⇒t≤1，f（x）=-x2+4x-1在[t，t+1]上的最大值为f（t）=-t2+4t-1．
故g（t）=-t2+4t-1．
②轴在区间中间，t＜2＜t+1⇒1＜t＜2，f（x）=-x2+4x-1在[t，t+1]上的最大值为f（2）=-22+4×2-1=3．
故g（t）=3．
③轴在区间左边，t≥2，f（x）=-x2+4x-1在[t，t+1]上的最大值为f（t）=-t2+2t+2．
故g（t）=-t2+2t+2．
∴g（t）=，
∴g（t）的最大值为3
故答案为；3