Question

已知：在函数的图象上，f（x）=mx³-x以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为
（I）求m，n的值；
（II）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由．

Answer

（I）求出f′（x），然后把切点N的横坐标代入f′（x）表示出直线的斜率等于tan，得到关于m的方程，求出m的值，然后把N（1，n代入到f（x）即可得到n的值；
（II）要使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立，即要k≥f（x）max+1993即要求出f（x）的最大值，方法是令f′（x）=0求出x的值，然后在[-1，3]区间上，利用x的值分三种情况讨论f′（x）的正负得到函数的单调区间，然后利用函数的增减性得到函数的最大值，列出关于k的不等式，求出解集即可得到满足题意k的最小的正整数解．
【解析】
（I）根据求导法则求出f（x）的导函数f′（x）=3mx2-1，
由f（x）=mx3-x以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为，
得，即
把（1，n）代入到f（x）中得：-1=n，解得n=-．
（II）令f'（x）=2x2-1=0，得
当时，f'（x）=2x2-1＞0；
当时，f'（x）=2x2-1＜0；
当时，f'（x）=2x2-1＞0；
又
因此，当x∈[-1，3]时，
要使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15+1993=2008．
所以，存在最小的正整数k=2008．使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立．