Question

如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，
圆柱OQ的底面圆的半径OA=2，侧面积为，∠AOP=120°．
（1）求证：AG⊥BD；
（2）求二面角P-AG-B的平面角的余弦值．

Answer

解法一：（1）由题设条件知可通过证明AG⊥面DBP证AG⊥BD；
（2）作辅助线，如图，找出∠PGB是二面角P-AG-B的平面角，由于其所在的三角形各边已知，且是一个直角三角形，故易求．
解法二：建立如图的空间坐标系，给出图中各点的坐标
（1）求出AG，BD两线段对应的向量的坐标，验证其内积为0即可得出两直线是垂直的；
（2）求出两个平面的法向量，然后求出两法向量夹角的余弦值的约对值即是二面角P-AG-B的平面角的余弦值．
【解析】
（1）（解法一）：由题意可知8=2×2π×AD，
解得AD=2，
在△AOP中，AP=，
∴AD=AP，
又∵G是DP的中点，
∴AG⊥DP．①
∵AB为圆O的直径，
∴AP⊥BP．
由已知知DA⊥面ABP，
∴DA⊥BP，
∴BP⊥面DAP．分
∴BP⊥AG．②
∴由①②可知：AG⊥面DBP，
∴AG⊥BD．
（2）由（1）知：AG⊥面DBP，
∴AG⊥BG，AG⊥PG，
∴∠PGB是二面角P-AG-B的平面角．
PG=PD=×AP=，
BP=OP=2，∠BPG=90°，．
∴BG==．
cos∠PGB===．
（解法二）：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知8=2×2π×AD，
解得AD=2，
则A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），P（，3，0），
∵G是DP的中点，
∴可求得G（，，）．
（1）=（，-1，0），=（0，-4，2），，
∴=（，，）．
∵=（，，）•（0，-4，2）=0，
∴AG⊥BD
（2）由（1）知，）=（，-1，0），=（，，）.=（-，-，）
=（，-，）

∵，．
∴是平面APG的法向量．
设=（x，y，1）是平面ABG的法向量，
由，
解得=（-2，0，1）分
cosθ==．
所以二面角二面角P-AG-B的平面角的余弦值