Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）证明：a_2n+1ⁿ≥a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ．

Answer

（1）由题意可知，，将a1=1代入上式可得a2=2．
（2）由，得a13+a23++an3=（a1+a2++an）2解得an+12-an2=an+1+an．
所以an+1-an=1．由此能够导出an=n．
（3）由于（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+，（1-x）n=Cn-Cn1x+Cn2x2-Cn3x3+，所以（1+x）n-（1-x）n-2nx=2Cn3x3+2Cn5x5+．再由分析法可知原不等式成立．
（1）【解析】
当n=1时，有，
由于an＞0，所以a1=1．
当n=2时，有，即，
将a1=1代入上式，由于an＞0，所以a2=2．
（2）【解析】
由，
得a13+a23++an3=（a1+a2++an）2，①
则有a13+a23++an3+an+13=（a1+a2++an+an+1）2．②
②-①，得an+13=（a1+a2++an+an+1）2-（a1+a2++an）2，
由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．③
同样有an2=2（a1+a2++an-1）+an（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an．
所以an+1-an=1．
由于a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
故an=n．
（3）证明1：由于（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+，（1-x）n=Cn-Cn1x+Cn2x2-Cn3x3+，
所以（1+x）n-（1-x）n=2Cn1x+2Cn3x3+2Cn5x5+．
即（1+x）n-（1-x）n-2nx=2Cn3x3+2Cn5x5+．
令，则有．
即，
即（2n+1）n≥（2n）n+（2n-1）n
故a2n+1n≥a2nn+a2n-1n．
证明2：要证a2n+1n≥a2nn+a2n-1n，
只需证（2n+1）n≥（2n）n+（2n-1）n，
只需证，
只需证．
由于===．
因此原不等式成立．