Question

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．
（1）证明：平面PAB⊥平面PCM；
（2）证明：线段PC的中点为球O的球心．

Answer

（1）要证明平面PAB⊥平面PCM，只需证明平面PCM内的直线CM，垂直平面PAB内的两条相交直线AB、PA即可；
（2）取PC的中点N，连接MN、AN．要证明线段PC的中点为球O的球心，只需说明PN=NC=AN=MN，即可证明点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心．
【解析】
（1）证明：∵AC=BC，M为AB的中点，∴CM⊥AM．
∵PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴PA⊥CM．
∵AB∩PA=A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴CM⊥平面PAB、
∵CM⊂平面PCM，
∴平面PAB⊥平面PCM．
（2）证明：由（1）知CM⊥平面PAB、
∵PM⊂平面PAB，
∴CM⊥PM．
∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC、如图，
取PC的中点N，连接MN、AN．在Rt△PAC中，点N为斜边PC的中点，
∴AN=PN=NC、在Rt△PCM中，点N为斜边PC的中点，
∴MN=PN=NC、
∴PN=NC=AN=MN．
∴点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心．