Question

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离．

Answer

（1）证明平面EBD内的直线BD，垂直平面SAC内的两条相交直线AC，SA，即可证明平面EBD⊥平面SAC；
（2）SA=4，AB=2，设AC∩BD=F，连SF，点A到平面SBD的距离为h，利用•S△SBD•h=•S△ABD•SA，求点A到平面SBD的距离；
【解析】
（1）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴SA⊥BD、
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∴BD⊥平面SAC、
∵BD⊂平面EBD，
∴平面EBD⊥平面SAC、
（2）设AC∩BD=F，连SF，则SF⊥BD、
∵AB=2．∴BD=2．
∵SF===3
∴S△SBD=BD•SF=•2•3=6．
设点A到平面SBD的距离为h，
∵SA⊥平面ABCD，
∴•S△SBD•h=•S△ABD•SA，
∴6•h=•2•2•4，
∴h=，
∴点A到平面SBD的距离为．