Question

已知a，b∈R，且a²+ab+b²=3，设a²-ab+b²的最大值和最小值分别为M，m，则M+m=    ．

Answer

令t=a2-ab+b2，由a2+ab+b2=3可得a2+b2=3-ab，结合基本不等式的性质，进而可得ab-3≤2ab≤3-ab，解可得ab的范围，又由a2+b2=3-ab，则t可变形为3-2ab，由ab的范围，可得M、m的值，代入可得答案．
【解析】
令t=a2-ab+b2，
由a2+ab+b2=3可得a2+b2=3-ab，
由基本不等式的性质，-（a2+b2）≤2ab≤a2+b2，
进而可得ab-3≤2ab≤3-ab，
解可得，-3≤ab≤1，
t=a2-ab+b2=3-ab-ab=3-2ab，
故1≤t≤9，
则M=9，m=1，
M+m=10，
故答案为10．