Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx（abc≠0）．
（1）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（2）在同一函数图象上任意取不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB中点为C（x，y），记直线AB的斜率为k，
①对于二次函数f（x）=ax²+bx+c，求证：k=f′（x）；
②对于“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx，是否有①同样的性质？证明你的结论．

Answer

（1）用导函数大于0在定义域内恒成立，结合二次不等式恒成立知不可能，据导数大于0函数单增，得证．
（2）①据两点斜率公式求k，再据中的坐标公式和导数公式得f′（x），得证．
（2）②先假设有得到一个关于t的等式，构造函数，研究函数单调性求最小值，得等式不成立，故假设不成立．
【解析】
（1）如果x＞0，g（x）为增函数，则
g′（x）=2ax+b+=恒成立．
∴2ax2+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立
则函数g（x）不可能总为增函数．
（2）①对于二次函数：
k==2ax+b
由f′（x）=2ax+b故f′（x）=2ax+b
即k=f′（x）
（2）②
不妨设x2＞x1，对于伪二次函数g（x）=ax2+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=
如果有①的性质，则g′（x）=k
∴
即∴，
令，t＞1，则
设s（t）=lnt-，则
∴s（t）在（1，+∞）上递增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax2+bx+clnx不具有①的性质．