Question

已知（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a及S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）试比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．

Answer

（1）通过对x取1，2求出a及Sn
（2）先通过不完全归纳猜出两者的大小，然后用数学归纳法证明．注意三歩：第一步证基础第二步证递推关系第三歩总结．
【解析】
（1）取x=1，则a=2n；
取x=2，则a+a1+a2+a3++an=3n，
∴Sn=a1+a2+a3++an=3n-2n；
（2）要比较Sn与（n-2）2n+2n2的大小，
即比较：3n与（n-1）2n+2n2的大小，
当n=1时，3n＞（n-1）2n+2n2；
当n=2，3时，3n＜（n-1）2n+2n2；
当n=4，5时，3n＞（n-1）2n+2n2；（
猜想：当n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2，
下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4时结论成立，
假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k＞（k-1）2k+2k2，
两边同乘以3得：3k+1＞3[（k-1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k2-4k-2]
而（k-3）2k+4k2-4k-2=（k-3）2k+4（k2-k-2）+6=（k-3）2k+4（k-2）（k+1）+6＞0
∴3k+1＞（（k+1）-1）2k+1+2（k+1）2
即n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2成立．
综上得，
当n=1时，Sn＞（n-2）2n+2n2；
当n=2，3时，Sn＜（n-2）2n+2n2；
当n≥4，n∈N*时，Sn＞（n-2）2n+2n2