Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求C₁到平面A₁AB的距离；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer

（Ⅰ）欲证AC1⊥平面A1BC，需要从平面A1BC中找出两条相交线与AC1垂直，由图形知，可证BC⊥AC1，又BA1⊥AC1．由线面垂直的定理即可得．
（Ⅱ）求C1到平面A1AB的距离，本小题拟采用向量法求解，建立空间坐标系，求出平面A1AB的法向量，以及，求在平面法向量上的投影即可得到点到面的距离．
（Ⅲ）求二面角A-A1B-C的余弦值，本小题拟采用向量法求解，根据（2）求出两平面的法向量，直接求两向量夹角的余弦值的绝对值即可．
【解析】

（Ⅰ）证明：因为A1在底面ABC上的射影为AC的中点D
所以平面A1ACC1⊥平面ABC
∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC
∴BC⊥平面A1ACC1∴BC⊥AC1
∵AC1⊥BA1且BC1∩BA1=B
∴AC1⊥平面A1BC
（Ⅱ）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系
∵AC1⊥平面A1BC∴AC1⊥A1C
∴四边形A1ACC1是菱形∵D是AC的中点
∴∠A1AD=60°∴A（2，0，0）A1（1，0，）
B（0，2，0）C1（-1，0，）
∴=（1，0，）=（-2，2，0）
设平面A1AB的法向量=（x，y，z），则，令z=1，
∴=（，，1）
∵=（2，0，0）∴
∴C1到平面A1AB的距离为
（Ⅲ）平面A1AB的法向量=（，，1），平面A1BC的法向量=（-3，0，）
∴，
设二面角A-A1B-C的平面角为θ，θ为锐角，
∴
即二面角A-A1B-C的余弦值为