Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（III）试证明：对∀n∈N^*，不等式恒成立．

Answer

（Ⅰ）由函数，得f′（x），令f′（x）=0，得此方程的解；从而求得函数f（x）的最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
故①当0＜2m≤1，即时，f（x）在[m，2m]上单调递增，最大值是f（2m）；
②当m≥1时，f（x）在[m，2m]上单调递减，最大值是f（m）；
③当m＜1＜2m，即时，最大值是f（1）．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，x∈（0，+∞）时，f（x）max=f（1）=-1，即在（0，+∞）上，恒有，当且仅当x=1时“=”成立，即是恒有lnx≤x（x-1）；由于，∴，即证．
【解析】
（Ⅰ）∵函数，∴，令f′（x）=0，得x2=1-lnx，显然x=1是此方程的解；
令g（x）=x2+lnx-1，其中x∈（0，+∞），则；
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又x=1是方程f′（x）=0的唯一解，
∴当x=1时，函数有最大值f（x）max=f（1）=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
故①当0＜2m≤1，即时，f（x）在[m，2m]上单调递增，；
②当m≥1时，f（x）在[m，2m]上单调递减，；
③当m＜1＜2m，即时，f（x）max=f（1）=-1．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，x∈（0，+∞）时，f（x）max=f（1）=-1，
∴在（0，+∞）上恒有，当且仅当x=1时“=”成立，
∴对任意的x∈（0，+∞）恒有lnx≤x（x-1）；
∵，∴，
即对∀n∈N*，不等式恒成立．