Question

已知等比数列{a_n}的公比q＞1，4是a₁和a₄的一个等比中项，a₂和a₃的等差中项为6，若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由4是a1和a4的一个等比中项，a2和a3的等差中项为6，求出数列的首项和公比，可求得数列{an}、数列{bn}的通项公式；
（2）把数列{an}、数列{bn}的通项公式代入anbn，利用错位相减法求得其前n项和Sn．
【解析】
（1）因为是a1和a4的一个等比中项，
所以．
由题意可得
在为q＞1，所以a3＞a2．
解得
所以．
故数列{an}的通项公式an=2n．

（2）由于bn=log2an（n∈N*），
所以bn=n，anbn=n•2n．Sn=1•2+2•22+3•23++（n-1）•2n-1+n•2n．①
2Sn=1•22+2•23++（n-1）•2n+n•2n+1．②
①-②得-Sn=1•2+22+23++2n-n•2n+1=．
所以Sn=2-2n+1+n•2n+1．