Question

设直线l：y=k（x+1）与椭圆x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．

Answer

（I）设直线l的方程为y=k（x+1），将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线l与椭圆相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，从而解决问题．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（I），得，由，得y2=从而求得△OAB的面积，最后利用基本不等式求得其最大值，及取值最大值时的k值，从而△OAB的面积取得最大值时椭圆方程即可．
【解析】
（Ⅰ）依题意，直线l显然不平行于坐标轴，
故y=k（x+1）可化为
将代入x2+3y2=a2，消去x，
得①（1分）
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得
△=（2分）
化简整理即得．（☆）（4分）
（Ⅱ）A（x1，y1），B（x2，y2），
由①，得②（5分）
因为，由，
得y1=-2y2③（6分）
由②③联立，解得y2=④（7分）
△OAB的面积
=
上式取等号的条件是3k2=1，即（9分）
当时，由④解得；
当时，由④解得．
将及这两组值分别代入①，
均可解出a2=5（11分）
经验证，a2=5，满足（☆）式．
所以，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程是x2+3y2=5（12分）
注：若未验证（说明）满足（☆）式，扣（1分）．