Question

△ABC的BC边在平面α内，A在α上的射影为A′，若∠BAC＞∠BA′C，则△ABC一定为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不是

Answer

△ABC的BC边在平面α内，A在α上的射影为A'，若∠BAC为直角，则∠BA'C＞∠BAC，射影△A'BC一定为钝角三角形；若∠BAC为钝角，则∠BA'C＞∠BAC，射影△A'BC也一定为钝角三角形；若∠BAC为锐角，则∠BA'C与∠BAC大小不确定，从而△A'BC的形状不确定．由本题知，当∠BA'C＜∠BAC时，则原△ABC一定为钝角三角形．
【解析】
只需证明△ABC中，BC边上的高AD在形外．
假设D在B，C之间，连A'D，则A'D⊥BC，
，，
∵AD＞A'D，
∴tan∠BAD＜tan∠BA'D，
∴∠BAD＜∠BA'D，同样，
∴∠BAC＜∠BA'C，
与已知矛盾．
若B，D或C，D重合，同样矛盾，故D在BC之外，△ABC为钝角三角形．
故选C．