Question

函数f（x）定义在N上，且对x∈N^*，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），若f（1）=2009，f（3）=0，则f（x）值有（ ）个．
A．2
B．3
C．6
D．不确定

Answer

先由f（x）=f（x-1）+f（x+1），（1）得出f（x+1）=f（x）+f（x+2），即f（x）=f（x-1）+f（x）+f（x+2），故f（x-1）=-f（x+2），即f（x）=-f（x+3），（2）即f（x）=f（x+6），（3）得出周期为6；再分别计算出：f（1）=2009，f（3）=0，f（2）=2009，f（4）=-f（1）=-2009，f（5）=-f（3）=-2009．得出f（x）的数值规律是即可．
【解析】
因为f（x）=f（x-1）+f（x+1），（1）
所以f（x+1）=f（x）+f（x+2），
即f（x）=f（x-1）+f（x）+f（x+2），
故f（x-1）=-f（x+2），
即f（x）=-f（x+3），（2）
即f（x）=f（x+6），（3）
所以周期为6；
又因为f（1）=2009，f（3）=0
代入公式（1），得出f（2）=2009
代入公式（2），得出f（4）=-f（1）=-2009，f（5）=-f（2）=-2009．
综上f（x）的数值规律是：2009，2009，0，-2009，-2009，0，2009，2009，0，-2009，-2009，0…
则f（x）值有3个．
故选B