Question

设f（x）=为奇函数，a为常数，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；
（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）利用奇函数的定义找关系求解出字母的值，注意对多解的取舍．
（2）利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性，关键要在自变量大小的前提下推导出函数值的大小．
（3）将恒成立问题转化为函数的最值问题，用到了分离变量的思想．
【解析】
（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
∴．
检验a=1（舍），∴a=-1．
（2）由（1）知
证明：任取1＜x2＜x1，∴x1-1＞x2-1＞0
∴
即f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在（1，+∞）内单调递增．
（3）对[3，4]于上的每一个x的值，不等式恒成立，即恒成立．
令．只需g（x）min＞m，
又易知在[3，4]上是增函数，
∴．
∴时原式恒成立．