Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC₁的交点为N，求：
（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）PC和NC的长
（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）

Answer

（I）由展开图为矩形，用勾股定理求对角线长．
（II）在侧面展开图中三角形MAP是直角三角形，可以求出线段AP的长度，进而可以求出PC的长度，再由相似比可以求得CN的长度．
（III）补形，找出两面的交线，在特殊的位置作出线面角，如图2．二面角易求．
【解析】
（I）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为
（II）如图1，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧成AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线

设PC=x，则P1C=x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得（3+x）2+22=29
求得x=2
∴PC=P1C=2
∵
∴
（III）如图2，连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连接CH，由三垂线定理得，CH⊥PP1

∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）
在Rt△PHC中，∵，∴
在Rt△NCH中，
故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arctan