Question

已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．
（1）求A，B，C三点到F距离之和；
（2）若，求椭圆的方程和直线BC的方程．

Answer

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则|AF|=a-ey1，|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），由△ABC的重心在原点O，知，再由a=3能导出|AF|+|BF|+|CF|的值．
（2）设直线AO交BC于M，交椭圆于N，，又|BM|=|MC|，所以四边形OBNC为平行四边形，由此入手能够得到椭圆的方程和直线BC的方程．
【解析】
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
，则|AF|=a-ey1，|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），（3分）
因为△ABC的重心在原点O，∴，
又a=3，
∴|AF|+|BF|+|CF|=9；（5分）
（2）设直线AO交BC于M，交椭圆于N，
因为△ABC的重心在原点O，
∴，
又|BM|=|MC|，
所以四边形OBNC为平行四边形，（7分）
∴，点N的坐标为，
代入椭圆方程得，b2=8，椭圆的方程，（9分）
结合，
由，，相减得，，（11分）
所以直线BC的方程，即6x+2y-9=0．（12分）