Question

已知f（x）为二次函数，且f（-1）=2，f′（0）=0，∫¹f（x）dx=-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值．

Answer

（1）先利用待定系数法设出二次函数，根据条件建立三个方程，求出参数即可．
（2）本题是二次函数在闭区间上求最值，通常从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间；开口向上，对称轴为x=0，故在对称轴处取最小值，在±1处取最大值．
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
则f′（x）=2ax+b．
由
∴f（x）=ax2+（2-a）．
又∫1f（x）dx=∫1[ax2+（2-a）]dx
=[ax3+（2-a）x]|1=2-a=-2，
∴a=6，∴c=-4．
从而f（x）=6x2-4．
（2）∵f（x）=6x2-4，x∈[-1，1]，
所以当x=0时f（x）min=-4；
当x=±1时，f（x）max=2．