Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，，n=2，3，4，…．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）设，n=1，2，3…，求证：数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式；
（Ⅲ）对任意的m≥2，m∈N^*，在数列{a_n}中是否存在连续的2^m项构成等差数列？若存在，写出这2^m项，并证明这2^m项构成等差数列；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题设条件可知a2=1+2a1=3，，a4=1+2a2=7，．
（Ⅱ）由题意知，又，所以bn+1=2bn．再由可知bn=2n．
（Ⅲ）对任意的m≥2，k∈N*，在数列{an}中，这连续的2m项就构成一个等差数列．再用分析法进行证明．
【解析】
（Ⅰ）因为a1=1，所以a2=1+2a1=3，，a4=1+2a2=7，（3分）
（Ⅱ）由题意，对于任意的正整数n，，
所以（4分）
又
所以bn+1=2bn（6分）
又（7分）
所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn=2n（8分）
（Ⅲ）存在．事实上，对任意的m≥2，k∈N*，在数列{an}中，
这连续的2m项就构成一个等差数列（10分）
我们先来证明：
“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，有”
由（II）得，所以．
当k为奇数时，
当k为偶数时，
记
因此要证，只需证明，
其中k1∈（0，2n-2），k1∈N*
（这是因为若，则当时，则k一定是奇数，
有
=；
当时，则k一定是偶数，有
=）
如此递推，要证，只要证明，
其中，k2∈（0，2n-3），k2∈N*
如此递推下去，我们只需证明，kn-2∈（0，21），kn-2∈N*
即，即，由（I）可得，
所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，有，
对任意的m≥2，m∈N*，，，
其中i∈（0，2m-1），i∈N*，
所以
又，，所以
所以这连续的2m项，
是首项为，公差为的等差数列（13分）
说明：当m2＞m1（其中m1≥2，m1∈N*，m2∈N*）时，
因为构成一个项数为的等差数列，
所以从这个数列中任取连续的项，也是一个项数为，公差为的等差数列．