Question

椭圆的两焦点为F₁，F₂，以F₁F₂为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆的离心率为     ．

Answer

正三角形的边长为 2c，第三个顶点在y轴上，设出A的坐标，求出 AF2 的中点坐标，把AF2 的中点坐标代入椭圆的方程化简解方程求得 e．
【解析】
由题意知，正三角形的边长为 2c，第三个顶点在y轴上，设为A，则 A的坐标可为 （0，c），
再由中点公式得 AF2 的中点为（，），再由 AF2 的中点在椭圆上得 +=1，
化简得 e4-8e2+4=0，∴e2=4+2（舍去） 或 e2=4-2，∴e=-1，
故答案为：-1．